Question

3．已知点A（-1，0），B（1，0），若圆x²+y²-8x-6y+25-m=0上存在点P使$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=0$，则m的最小值为16．

Answer 1

分析 设P（4+$\sqrt{m}$cosθ，3+$\sqrt{m}$sinθ），由圆x²+y²-8x-6y+25-m=0上存在点P使$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=0$，得到$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=24+m+10$\sqrt{m}$sin（θ+φ）=0，从而m-10$\sqrt{m}$+24=0，由此能求出m的最小值．

解答 解：∵圆x²+y²-8x-6y+25-m=0的圆心C（4，3），半径r=$\sqrt{m}$，
A（-1，0），B（1，0），
∴设P（4+$\sqrt{m}$cosθ，3+$\sqrt{m}$sinθ），
则$\overrightarrow{PA}$=（-5-$\sqrt{m}$cosθ，-3-$\sqrt{m}sinθ$），$\overrightarrow{PB}$=（-3-$\sqrt{m}$cosθ，-3-$\sqrt{m}sinθ$），
∵圆x²+y²-8x-6y+25-m=0上存在点P使$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=0$，
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=15+8$\sqrt{m}$cosθ+mcos²θ+9+6$\sqrt{m}$sinθ+msin²θ
=24+m+10$\sqrt{m}$sin（θ+φ）=0，
∴m-10$\sqrt{m}$+24=0，解得m=36或m=16．
∴m的最小值为16．
故答案为：16．

点评 本题考查实数值的最小值的求法，考查直线方程、圆的参数方程、向量的数量积等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．