Question

1．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC垂直于正方形A₁ACC₁所在平面，AC=2，BC=1，D为AC中点，E为线段BC₁上的一点（端点除外），平面AB₁E与BD交于点F
（Ⅰ）若E不是BC₁的中点，求证：AB₁∥EF；
（Ⅱ）若E是BC₁的中点，求AE与平面BC₁D所成角的正弦值；
（Ⅲ）在线段BC₁上是否存在点E，使得A₁E⊥CE，若存在，求出$\frac{BE}{E{C}_{1}}$的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （I）连接B₁C，交BC₁于点G，连接GD，则由中位线定理得出GD∥AB₁，于是AB₁∥平面BC₁D，由线面平行的性质得出AB₁∥EF；
（II）以C₁为原点建立空间坐标系，求出$\overrightarrow{AE}$和平面BC₁D的法向量$\overrightarrow{n}$，则AE与平面BC₁D所成角的正弦值为|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{AE}$＞|；
（III）设$\frac{BE}{E{C}_{1}}$=λ，求出$\overrightarrow{{A}_{1}E}$和$\overrightarrow{CE}$的坐标，令$\overrightarrow{{A}_{1}E}$•$\overrightarrow{CE}$=0解出λ．

解答 证明：（I）连接B₁C，交BC₁于点G，连接GD．
∵四边形BCC₁B₁是平行四边形，∴G为B₁C的中点，
∵D为AC中点，
∴GD∥AB₁．又GD?平面BC₁D，AB₁?平面BC₁D，
∴AB₁∥平面BC₁D．
∵AB₁?平面AB₁EF，平面AB₁EF∩平面BC₁D=EF，
∴AB₁∥EF．
（II） 以C₁为原点，以C₁A₁，C₁C，C₁B₁为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示．
则A（2，2，0），E（0，1，$\frac{1}{2}$），B（0，2，1），C₁（0，0，0），D（1，2，0）．
∴$\overrightarrow{AE}$=（-2，-1，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{{C}_{1}B}$=（0，2，1），$\overrightarrow{{C}_{1}D}$=（1，2，0）．
设平面BC₁D的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{C}_{1}B}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{C}_{1}D}=0}\end{array}\right.$
∴$\left\{\begin{array}{l}{2y+z=0}\\{x+2y=0}\end{array}\right.$，令y=1，得$\overrightarrow{n}$=（-2，1，-2）．
∴cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{AE}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{AE}|}$=$\frac{2}{3\sqrt{\frac{21}{4}}}$=$\frac{4\sqrt{21}}{63}$．
∴AE与平面BC₁D所成角的正弦值为$\frac{4\sqrt{21}}{63}$．
（III） 假设在线段BC₁上存在点E，使得A₁E⊥CE，
设$\frac{BE}{E{C}_{1}}$=λ，则$\overrightarrow{{C}_{1}E}=\frac{1}{λ+1}\overrightarrow{{C}_{1}B}$=（0，$\frac{2}{λ+1}$，$\frac{1}{λ+1}$）．
∴$\overrightarrow{{A}_{1}E}$=$\overrightarrow{{C}_{1}E}$-$\overrightarrow{{C}_{1}{A}_{1}}$=（-2，$\frac{2}{λ+1}$，$\frac{1}{λ+1}$），$\overrightarrow{CE}$=$\overrightarrow{C{C}_{1}}+\overrightarrow{{C}_{1}E}$=（0，-$\frac{2λ}{λ+1}$，$\frac{1}{λ+1}$）．
∵A₁E⊥CE，∴$\overrightarrow{{A}_{1}E}•\overrightarrow{CE}=0$．即$\frac{-4λ}{（λ+1）^{2}}+\frac{1}{（λ+1）^{2}}=0$．
解得：λ=$\frac{1}{4}$．
∴在线段BC₁上存在点E，使得A₁E⊥CE，且$\frac{BE}{{C}_{1}E}$=$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了线面平行的判定与性质，空间向量与空间角的计算，属于中档题．