Question

【题目】已知函数f(x)＝ax2－2x＋1.

(1)试讨论函数f(x)的单调性；

(2)若≤a≤1，且f(x)在[1,3]上的最大值为M(a)，最小值为N(a)，令g(a)＝M(a)－N(a)，求g(a)的表达式；

(3)在(2)的条件下，求证：g(a)≥.

Answer 1

【答案】（1）见解析．（2）；（3）详见解析.

【解析】

（1）分成三类，讨论函数的单调区间.（2）对函数进行配方，根据对称轴的位置对参数进行分类讨论，由此求得最大值和最小值，也即的表达式.（3）利用导数求得的单调区间，由此求得的最小值，以此证明不等式成立.

(1)当a＝0时，函数f(x)＝－2x＋1在(－∞，＋∞)上为减函数；

当a>0时，抛物线f(x)＝ax2－2x＋1开口向上，对称轴为x＝，

故函数f(x)在上为减函数，在上为增函数；

当a<0时，抛物线f(x)＝ax2－2x＋1开口向下，对称轴为x＝，

故函数f(x)在上为增函数，在上为减函数．

(2)∵f(x)＝a2＋1－，

由≤a≤1得1≤≤3，∴N(a)＝f＝1－.

当1≤<2，即<a≤1时，M(a)＝f(3)＝9a－5，

故g(a)＝9a＋－6；

当2≤≤3，即≤a≤时，M(a)＝f(1)＝a－1，

故g(a)＝a＋－2.

∴g(a)＝

(3)证明：当a∈时，g′(a)＝1－<0，

∴函数g(a)在上为减函数；

当a∈时，g′(a)＝9－>0，

∴函数g(a)在上为增函数，

∴当a＝时，g(a)取最小值，g(a)min＝＝.

故g(a)≥.