【题目】在直角坐标系中,直线
的参数方程为
(
为参数),在极坐标系中,圆C的极坐标方程为:
(1)求圆C的直角坐标方程;
(2)设圆C与直线交于
两点,若点的坐标为
,求
的最小值.
【答案】(1) ; (2)
.
【解析】
(1)利用极坐标公式把圆C的极坐标方程化为直角坐标方程.(2) 将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程,得t2+2(cos α-sin α)t-7=0,利用弦长公式求出|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1-t2|=,再求其最小值.
(1)由ρ=6sin θ得ρ2=6ρsin θ,化为直角坐标方程为x2+y2=6y,即x2+(y-3)2=9.
所以圆C的直角坐标方程为x2+(y-3)2=9.
(2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程,得t2+2(cos α-sin α)t-7=0.
由已知得Δ=(2cos α-2sin α)2+4×7>0,
所以可设t1,t2是上述方程的两根,则
由题意得直线l过点(1,2),结合t的几何意义得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1-t2|
==
=
≥
=2
.
所以|PA|+|PB|的最小值为2.
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【题目】如图,在三棱柱中,侧棱
底面
,且
,
是棱
的中点,点
在侧棱
上运动.
(1)当是棱
的中点时,求证:
平面
;
(2)当直线与平面
所成的角的正切值为
时,求二面角
的余弦值.
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【题目】给出下列五个命题,其中正确的命题序号是________.
①当时,函数
取得最大值,则
②已知菱形,
为
的中点,且
,则菱形
面积的最大值为12
③已知二次函数,如果
时
,则实数
的取值范围是
④在三棱锥中,
,
,点
分别是
的中点,则异面直线
所成的角的余弦值是
⑤数列满足
,且数列
的前2010项的和为403,记数列
,
是数列
的前
项和,则
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【题目】已知函数f(x)=ax2-2x+1.
(1)试讨论函数f(x)的单调性;
(2)若≤a≤1,且f(x)在[1,3]上的最大值为M(a),最小值为N(a),令g(a)=M(a)-N(a),求g(a)的表达式;
(3)在(2)的条件下,求证:g(a)≥.
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【题目】近年来,随着我市经济的快速发展,政府对民生越来越关注市区现有一块近似正三角形的土地(如图所示),其边长为2百米,为了满足市民的休闲需求,市政府拟在三个顶点处分别修建扇形广场,即扇形
和
,其中
与
、
分别相切于点
,且
与
无重叠,剩余部分(阴影部分)种植草坪.设
长为
(单位:百米),草坪面积为
(单位:万平方米).
(1)试用分别表示扇形
和
的面积,并写出
的取值范围;
(2)当为何值时,草坪面积最大?并求出最大面积.
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【题目】已知以点为圆心的圆过原点
.
(1)设直线与圆
交于点
,若
,求圆
的方程;
(2)在(1)的条件下,设,且
分别是直线
和圆
上的动点,求
的最大值及此时点
的坐标.
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【题目】设三棱锥的底面是正三角形,侧棱长均相等,
是棱
上的点(不含端点),记直线
与直线
所成角为
,直线
与平面
所成角为
,二面角
的平面角为
,则( )
A. B.
C. D.
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【题目】如图,AB为⊙O的直径,PA垂直于⊙O所在的平面,M为圆周上任意一点,AN⊥PM,N为垂足.
(1)求证:AN⊥平面PBM;
(2)若AQ⊥PB,垂足为Q,求证:NQ⊥PB.
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