Question

如图，已知抛物线C：y²=2px（p＞0）上有两个动点A，B，它们的横坐标分别为a，a+2，当a=1时，点A到x轴的距离为

2

，M是y轴正半轴上的一点．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）若A，B在x轴上方，且|OA|=|OM|，直线MA交x轴于N，求证：直线BN的斜率为定值，并求出该定值．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）求出A的坐标，代入，即可求抛物线C的方程；
（Ⅱ）求得直线MA的方程，可得N的坐标，即可证明直线BN的斜率为定值，并求出该定值．

解答： （Ⅰ）解：由题意得当a=1时，点A坐标为(1，±

2

)，
由题有(±

2

)2=2p，∴p=1
∴抛物线C的方程为：y²=2x
（Ⅱ）证明：由题A(a，

2a

)，B(a+2，

2a+4

)，
∵|OA|=|OM|，
∴M(0，

a2+2a

)，
∴kMA=

a2+2a - 2a

-a

∴直线MA的方程为：y=

a2+2a - 2a

-a

x+

a2+2a

，
∴xN=

a a2+2a

a2+2a - 2a

=

a a+2

a+2 - 2

∴kBN=

2a+4

a+2- a a+2 a+2 - 2

=

2

a+2 - a a+2 - 2

=

2 ( a+2 - 2 )

a+2 ( a+2 - 2 )-a

=

2 ( a+2 - 2 )

2- 2 a+2

=-1，
∴直线BN的斜率为定值，该定值为-1．

点评：本题考查抛物线方程，考查直线斜率的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．