Question

已知函数f（x）=2sinx（sinx+cosx）．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求不等式f（x）≥2在区间[-

π

2

，

π

2

]的解集．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=

2

sin（2x-

π

4

）+1，由三角函数的周期性及其求法可得T．
（2）由已知可解得sin（2x-

π

4

）≥

2

2

，从而在区间[-

π

2

，

π

2

]上，有

π

4

≤2x-

π

4

≤

π

2

，从而解得：

π

4

≤x≤

3π

8

．

解答： 解：（1）∵f（x）=2sinx（sinx+cosx）=sin2x-cos2x+1=

2

sin（2x-

π

4

）+1．
∴由三角函数的周期性及其求法可得：T=

2π

2

=π．
（2）∵f（x）=

2

sin（2x-

π

4

）+1≥2，
∴可解得：sin（2x-

π

4

）≥

2

2

，
∴可得：在区间[-

π

2

，

π

2

]上，有

π

4

≤2x-

π

4

≤

π

2

，从而解得：

π

4

≤x≤

3π

8

．
∴不等式f（x）≥2在区间[-

π

2

，

π

2

]的解集是：{x|

π

4

≤x≤

3π

8

}．

点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．