Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=3，S₂=

9

2

，2S_n+2+S_n=3S_n+1．
（1）证明：数列{a_n}是等比数列；
（2）若对任意n∈N^*，不等式

3k

6-Sn

≥n恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：数列的求和,等比关系的确定,数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由数列递推式得到

an+2

an+1

=

1

2

，再求得

a2

a1

=

1

2

，即可说明数列{a_n}是等比数列；
（2）由（1）求出数列{a_n}的前n项和为S_n，代入不等式

3k

6-Sn

≥n后分离参数k，求出含n的函数的最大值后得到k的范围．

解答： （1）证明：由2S_n+2+S_n=3S_n+1，
得2（S_n+2-S_n+1）=S_n+1-S_n，即2a_n+2=a_n+1，
∴

an+2

an+1

=

1

2

，
又a₁=3，S₂=

9

2

，∴a2=S2-a1=

9

2

-3=

3

2

，
∴

a2

a1

=

3 2

3

=

1

2

．
∴数列{a_n}是以3为首项，以

1

2

为公比的等比数列；
（2）解：∵数列{a_n}是等比数列，
∴Sn=

3(1- 1 2n )

1- 1 2

=6(1-

1

2n

)，
对任意n∈N^*，不等式

3k

6-Sn

≥n恒成立，等价于

3k

6-6+ 6 2n

≥n恒成立，
即k≥

n

2n-1

对任意n∈N^*恒成立，
令f（n）=

n

2n-1

，
∵f（1）=f（2）=1，且当n≥3时f（n）＜1，
∴k≥1．
故对任意n∈N^*，使不等式

3k

6-Sn

≥n恒成立的实数k的取值范围是[1，+∞）．

点评：本题考查了等比关系的确定，考查了等比数列的前n项和，训练了数列不等式中恒成立问题的求解方法，是中档题．