Question

已知数列{a_n}满足：a₁=1，4a_n+1=5a_n+

9an2+16

．
（1）计算a₂，a₃，a₄，猜想求数列{a_n}的通项公式，并给与证明；
（2）证明：

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜2．

Answer 1

考点：数学归纳法,归纳推理

专题：综合题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）写出前四项猜出一个符合的通项公式，然后利用数学归纳法进行证明；
（2）取倒数，利用放缩法，结合等比数列的求和公式即可得出结论．

解答： （1）解：∵a₁=1，4a_n+1=5a_n+

9an2+16

，
∴a₂=

5

2

，a₃=

21

4

，a₄=

85

8

，
猜想a_n=

4n-1

3•2n-1

；
证明如下：①n=1时，a₁=1；
②假设n=k时，结论成立，则
n=k+1时，4a_k+1=5a_k+

9ak2+16

，
∴a_k+1=

5

4

a_k+

1

4

9ak2+16

=

5

4

•

4k-1

3•2k-1

+

1

4

9•( 4k-1 3•2k-1 )2+16

=

4k+1-1

3•2k

．
即n=k+1时，结论成立，
由①②可知，a_n=

4n-1

3•2n-1

；
（2）证明：∵a_n=

4n-1

3•2n-1

，
∴

1

an

=

3•2n-1

4n-1

=

3

2

•

2n

4n-1

＜

3

2

•

1

2n

，
∴

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

3

2

（

1

2

+

1

4

+…+

1

2n

）=

3

2

（1-

1

2n

）＜2．

点评：本题主要考查了数学归纳法证明，关键在于n=k+1时的运算要做到有的放矢．