Question

已知函数f（x）=|x-3|+|x+4|．
（1）求f（x）≥f（4）的解集；
（2）设函数g（x）=k（x-3），k∈R，若f（x）＞g（x）对任意的x∈R都成立，求k的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：数形结合,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）函数f（x）=|x-3|+|x+4|，不等式 f（x）≥f（4）即|x-3|+|x+4|≥9．可得①

x≤-4 3-x-x-4≥9

，或②

-4＜x＜3 3-x+x+4≥9

，或③

x≥3 x-3+x+4≥9

．分别求得①、②、③的解集，再取并集，即得所求；
（2）由题意可得，f（x）的图象恒在g（x）图象的上方，作函数y=f（x）和 y=g（x）的图象如图，由k_PB=2，A（-4，7），可得k_PA=-1，数形结合求得实数k的取值范围．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=|x-3|+|x+4|，
∴f（x）≥f（4）即|x-3|+|x+4|≥9．
∴①

x≤-4 3-x-x-4≥9

，或②

-4＜x＜3 3-x+x+4≥9

，或③

x≥3 x-3+x+4≥9

．
解①可得x≤-5；解②可得x无解；解③求得：x≥4．
所以f（x）≥f（4）的解集为{x|x≤-5，或x≥4}．
（2）f（x）＞g（x）对任意的x∈R都成立，
即f（x）的图象恒在g（x）图象的上方，
∵f（x）=|x-3|+|x+4|=

-2x-1，x≤-4 7，-4＜x＜3 2x+1，x≥3

．
由于函数g（x）=k（x-3）的图象为恒过定点P（3，0），且斜率k变化的一条直线，
作函数y=f（x）和 y=g（x）的图象如图，其中，k_PB=2，A（-4，7），
∴k_PA=

7-0

-4-3

=-1．
由图可知，要使得f（x）的图象恒在g（x）图象的上方，
∴实数k的取值范围为（-1，2]．

点评：本题主要考查含绝对值的函数的图象和应用，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论、数形结合的数学思想，属于中档题．