Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（x∈R，a≠0），-2是f（x）的一个零点，又f（x）在x=0处有极值，
（1）求c的值；
（2）当a＞0，b=3a时，求使{y|y=f（x），-3≤x≤2}⊆[-3，2]成立的实数a的取值范围；
（3）若f（x）在区间（-6，-4）和（-2，0）上是单调的，且在这两个区间上的单调性相反，求的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=ax³+bx²+cx+d，
∴f'（x）=3ax²+2bx+c，
∵f（x）在x=0有极值，
∴f'（0）=0
∴c=0
（2）b=3a，且-2是f（x）的一个零点，得f（-2）=-8a+12a+d=0，即d=-4a
∴f（x）=ax³+3ax²-4a，
f′（x）=3ax²+6ax=3ax（x+2）
由f'（x）=0得x=0或x=-2
当a＞0时

x	-3	（-3，-2）	-2	（-2，0）	0	（0，2）	2
f'（x）		+	0	-	0	+
f（x）	-4a	↗	0	↘	-4a	↗	16a

所以当a＞0时，若-3≤x≤2，则-4a≤f（x）≤16a
所以 ，即 ，故 a的取值范围是 ．
（3）f'（x）=3ax²+2bx，
由f'（x）=x（3ax+2b）=0，得x=0或
∵f（x）在区间（-6，-4）和（-2，0）上单调且单调性相反
∴，
故 ．
分析：（1）求出函数f（x）的导函数，由题意得f'（0）=0即可得到c=0；
（2）将b=3a代入到f'（x）中，化简得f'（x）的零点为x=0或-2，根据当a＞0，可以得出f（x）在区间[-3，2]上的取值范围，最后根据不等式-3≤f（x）≤2恒成立，化简即得实数a的取值范围．
（3）由（1）得，f'（x）=3ax²+2bx=x（3ax+2b），f′（x）的零点为x=0或 ，再根据f（x）在区间（-6，-4）和（-2，0）上的单调且单调性相反，列出不等式组，化简得 ，故 ；
点评：本题以函数为载体，主要考查利用导数求函数的极值，考查函数的最值，考查方程根的讨论，属于中档题．其中利用导数研究函数的单调性与极值是解题的关键．