Question

12．在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A（1，0）和点B（-1，0），|$\overrightarrow{OC}$|=1，且∠AOC=x，其中O为坐标原点．
（1）若x=$\frac{3π}{4}$，设点D为线段OA上的动点，求|$\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{OD}$|的最小值；
（2）若x∈（0，$\frac{π}{2}$），向量$\overrightarrow m=\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow n=（1-cosx，sinx-2cosx）$，求$\overrightarrow m•\overrightarrow n$的最小值及对应的x值．

Answer 1

分析 （1）设D（t，0）（0≤t≤1），利用二次函数的性质求得它的最小值．
（2）由题意得$\overrightarrow m•\overrightarrow n$=1-$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），再利用正弦函数的定义域和值域 求出它的最小值．

解答 解：（1）设D（t，0）（0≤t≤1），由题易知C（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
所以$\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{OD}$=（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$+t，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）
所以|$\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{OD}$|²=$\frac{1}{2}$-$\sqrt{2}$t+t²+$\frac{1}{2}$=t²-$\sqrt{2}$t+1
=（t-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²+$\frac{1}{2}$（0≤t≤1），
所以当t=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，|$\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{OD}$|最小，为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（2）由题意，得C（cos x，sin x），
m=$\overrightarrow{BC}$=（cos x+1，sin x），
则m•n=1-cos2x+sin2x-2sin xcos x=1-cos 2x-sin 2x=1-$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
因为x∈[0，$\frac{π}{2}$]，所以$\frac{π}{4}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{5π}{4}$，
所以当2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{8}$时，
sin（2x+$\frac{π}{4}$）取得最大值1，
所以m•n的最小值为1-$\sqrt{2}$，此时x=$\frac{π}{8}$．

点评 本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，两个向量的数量积的公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．