Question

【题目】设不等式组所表示的平面区域为Dn，记Dn内的格点（格点即横坐标和纵坐标均为整数的点）的个数为f(n)(n∈N*).

（1）求f(1)、f(2)的值及f(n)的表达式；

（2）设bn=2nf(n)，Sn为{bn}的前n项和，求Sn；

（3）记,若对于一切正整数n，总有Tn≤m成立，求实数m的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）f(1)=3，f(2)=6，f(n)=3n（2）Sn=6+(3n－3)2n+1（3）

【解析】

试题分析：（1）由，可求得x=1，或x=2，则Dn内的整点在直线x=1和x=2上，联立可求得整点纵坐标，进而可得整点个数；（2）利用错位相减法求数列的前n项的和；（3）先利用上面的结论求出的表达式，再对与的作商比较，从而求出中的最大值，即可找到满足≤m时对应的实数m的取值范围

试题解析：（1）f(1)=3…

f(2)=6……

当x=1时，y=2n，可取格点2n个；当x=2时,y=n，可取格点n个

∴f(n)=3n

（2）由题意知:bn=3n·2n

Sn=3·21+6·22+9·23+…+3(n－1)·2n－1+3n·2n

∴2Sn=3·22+6·23+…+3(n－1)·2n+3n·2n+1

∴－Sn=3·21+3·22+3·23+…3·2n－3n·2n+1

=3（2+22+…+2n）－3n·2n+1

=3(2n+1－2)－3nn+1（7分）

∴－Sn=(3－3n)2n+1－6

Sn=6+(3n－3)2n+1

（3）Tn=………

∵…

当n=1时>1

当n=2时=1

当n≥3时<1

∴T1<T2=T3>T4>…>Tn

故Tn的最大值是T2=T3=

∴m≥