Question

18．如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，侧面A₁ADD₁⊥底面ABCD，D₁A=D₁D=$\sqrt{2}$，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD中点．
（1）求证：A₁O∥平面AB₁C
（2）求直线B₁C与平面C₁CDD₁所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）连接CO、A₁O、AC、AB₁，推导出四边形A₁B₁CO为平行四边形，从而A₁O∥B₁C，由此能证明A₁O∥平面AB₁C．
（2）推导出D₁O⊥AD，从而D₁O⊥底面ABCD，以O为原点，OC、OD、OD₁所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线B₁C与平面C₁CDD₁所成角的正弦值．

解答 证明：（1）如图，连接CO、A₁O、AC、AB₁
则四边形ABCD为正方形，∴OC=AB=A₁B₁，
∴四边形A₁B₁CO为平行四边形，∴A₁O∥B₁C，
又A₁O?平面AB₁C，B₁C?平面AB₁C
∴A₁O∥平面AB₁C．…（6分）
解：（2）∵D₁A=D₁D，O为AD中点，∴D₁O⊥AD，
又侧面A₁ADD₁⊥底面ABCD，∴D₁O⊥底面ABCD，
以O为原点，OC、OD、OD₁所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的坐标系，
则C（1，0，0），D（0，1，0），D₁（0，0，1），A（0，-1，0），A₁（0，-2，1），
∴$\overrightarrow{DC}$=（1，-1，0），$\overrightarrow{D{D}_{1}}$=（0，-1，1），$\overrightarrow{{D}_{1}A}$=（0，-1，-1），$\overrightarrow{{D}_{1}{C}_{1}}$=（1，-1，0），
设$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）为平面C₁CDD₁的一个法向量，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DC}=x-y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{D{D}_{1}}=-y+z=0}\end{array}\right.$令z=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，1，1），
由（1）知B₁C∥A₁O，∴直线A₁O与平面C₁CDD₁所成的角和直线B₁C与平面C₁CDD₁所成的角相等．
记直线B₁C与平面C₁CDD₁所成的角为θ，且$\overrightarrow{O{A}_{1}}$=（0，-2，1），
∴sinθ=$\frac{|\overrightarrow{O{A}_{1}}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{O{A}_{1}}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{1}{\sqrt{5}×\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{15}}{15}$，
∴直线B₁C与平面C₁CDD₁所成角的正弦值是$\frac{\sqrt{15}}{15}$．…（12分）

点评 本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．