Question

20．?t∈R，不等式|2x-2|+4x＜|t-3|+|t-4|恒成立．
（1）求实数x的取值范围M．
（2）设a，b∈M，比较|1-4ab|与2|a-b|的大小，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用绝对值三角不等式求得，|t-3|+|t-4|的最小值为1，可得|2x-2|+4x＜1，去掉绝对值，分类讨论，求得x的范围．
（2）根据a，b∈M，可得a＜-$\frac{1}{2}$，b＜-$\frac{1}{2}$，故有4ab＞1，可得|1-4ab|=4ab-1，分a≥b和a＜b两种情况，分别较|1-4ab|与2|a-b|的大小关系，综合可得结论．

解答 解：（1）∵?t∈R，不等式|2x-2|+4x＜|t-3|+|t-4|恒成立，|t-3|+|t-4|≥|t-3-（t-4）|=1，
∴应有|2x-2|+4x＜1，∴$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{2x-2+4x＜1}\end{array}\right.$ ①，或$\left\{\begin{array}{l}{x＜1}\\{2-2x+4x＜1}\end{array}\right.$②．
解①求得x∈∅，解②求得x＜-$\frac{1}{2}$．
综上可得，实数x的取值范围M={x|x＜-$\frac{1}{2}$}．
（2）∵a，b∈M，则a＜-$\frac{1}{2}$，b＜-$\frac{1}{2}$，∴ab＞$\frac{1}{4}$，4ab＞1，∴|1-4ab|=4ab-1．
当a≥b时，|1-4ab|-2|a-b|=4ab-1-2（a-b）=4ab+2b-2a-1=2b（2a+1）-（2a+1）=（2a+1）（2b-1），
∵2a＜-1，2b＜-1，∴2a+1＜0，2b-1＜0，∴（2a+1）（2b-1）＞0，∴|1-4ab|＞-2|a-b|．
当a＜b时，|1-4ab|-2|a-b|=4ab-1+2（a-b）=4ab-2b+2a-1=2b（2a-1）+（2a-1）=（2a-1）（2b+1），
∵2a＜-1，2b＜-1，∴2a-1＜0，2b+1＜0，∴（2a+1）（2b-1）＞0，∴|1-4ab|＞-2|a-b|．
综上可得，|1-4ab|＞-2|a-b|．

点评 本题主要考查绝对值三角不等式的应用，函数的恒成立问题，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．