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    10．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法中：
    ①在△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若该三角形有两解，则x取值范围是2＜x＜2$\sqrt{2}$；
    ②在△ABC中，若b=8，c=5，A=60°，则△ABC的外接圆半径等于$\frac{7\sqrt{3}}{3}$；
    ③在△ABC中，若AB=4，AC=7，BC=9，则BC边的中线AD=$\frac{7}{2}$；
    ④设三角形ABC的BC边上的高AD=BC，a、b、c分别表示角A、B、C对应的三边，则$\frac{b}{c}$+$\frac{c}{b}$的取值范围是[2，$\sqrt{5}$]
    其中正确说法的序号是①②③④（注：把你认为是正确的序号都填上）．

    分析 对4个命题分别进行判断，即可得出结论．

    解答 解：①因为AC=b=2，要使三角形有两解，就是要使以C为圆心，半径为2的圆与BA有两个交点，
    当A=90°时圆与AB相切；当A=45°时交于B点，也就是只有一解，
    ∴45°＜A＜90°，即$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜sinA＜1，
    ∵b=2，B=45°，
    ∴由正弦定理a=x=$\frac{bsinA}{sinB}$=2$\sqrt{2}$sinA，
    又$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜sinA＜1，
    ∴2$\sqrt{2}$sinA∈（2，2$\sqrt{2}$），
    则x取值范围是2＜x＜2$\sqrt{2}$，本选项正确；
    ②∵b=8，c=5，A=60°，
    ∴由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA=64+25-40=49，
    解得：a=7，
    设三角形ABC的外接圆半径为R，
    根据正弦定理得：2R=$\frac{7}{sin60°}$，解得：R=$\frac{7\sqrt{3}}{3}$，本选项正确；
    ③∵AB=c=4，AC=b=7，BC=a=9，
    ∴由余弦定理得：cosB=$\frac{2}{3}$，
    又D为BC的中点，∴BD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{9}{2}$，
    在三角形ABD中，AB=4，BD=$\frac{9}{2}$，cosB=$\frac{2}{3}$，
    由余弦定理得：AD2=AB2+BD2-2AB•BDcosB=$\frac{49}{4}$，
    解得：AD=$\frac{7}{2}$，本选项正确；
    ④∵BC边上的高AD=BC=a，
    ∴S△ABC=$\frac{1}{2}{a}^{2}=\frac{1}{2}bcsinA$，
    ∴sinA=$\frac{{a}^{2}}{bc}$，又cosA=$\frac{1}{2}$（$\frac{b}{c}$+$\frac{c}{b}$-$\frac{{a}^{2}}{bc}$），
    ∴$\frac{b}{c}$+$\frac{c}{b}$=2cosA+sinA
    =$\sqrt{5}$sin（α+A）≤$\sqrt{5}$，
    （其中sinα=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cosα=$\frac{\sqrt{5}}{5}$），
    又$\frac{b}{c}$+$\frac{c}{b}$≥2，
    ∴$\frac{b}{c}$+$\frac{c}{b}$∈[2，$\sqrt{5}$]，本选项正确，
    则正确说法的序号是①②③④．
    故答案为：①②③④．

    点评 此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦、余弦定理，正弦函数的定义域与值域，三角形的面积公式，二倍角的正弦函数公式，直角三角形内切圆半径求法，两角和与差的正弦函数公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．

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