Question

12．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA，且B为钝角．
（1）若$A=\frac{π}{6}$，求B；
（2）求sinA+sinC的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理，由a=btanA，可得sinA=sinB$•\frac{sinA}{cosA}$，根据$A=\frac{π}{6}$，可求B；
（2）根据B为钝角，cosA=sinB，可得B-A=$\frac{π}{2}$，利用三角形内角和消去C，根据三角函数的性质求解范围．

解答 解：（1）∵$A=\frac{π}{6}$，B为钝角，
由$a=btanA⇒\frac{sinA}{cosA}=\frac{a}{b}=\frac{sinA}{sinB}⇒cosA=sinB⇒sinB=\frac{{\sqrt{3}}}{2}⇒B=\frac{2π}{3}$．
（2）由$cosA=sinB⇒B-A=\frac{π}{2}⇒A∈（{0，\frac{π}{4}}）$．
又A+B+C=π
∴$sinA+sinC=sinA+sin（π-A-B）=sinA+sin（{\frac{π}{2}-2A}）=sinA+cos2A$=$-2{sin^2}A+sinA+1=-2{（{sinA-\frac{1}{4}}）^2}+\frac{9}{8}∈（{\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{9}{8}}]$．
∴sinA+sinC的取值范围是（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{9}{8}$]

点评 本题主要考查正弦定理和三角函数的性质，利用三角函数的有界限求解范围．属于中档题．