Question

3．在（$\sqrt{3}$x+$\root{3}{2}$）¹⁰⁰展开式所得的x的多项式中，系数为有理数的项有（　　）

• A． 16项
• B． 17项
• C． 24项
• D． 50项

Answer 1

分析 根据二项式（$\sqrt{3}$x+$\root{3}{2}$）¹⁰⁰展开式的通项公式，写出x的系数，分析系数特点，求出满足条件的r有多少即可．

解答 解：（$\sqrt{3}$x+$\root{3}{2}$）¹⁰⁰展开式中，通项公式为
T_r+1=C₁₀₀^r•（$\sqrt{3}$x）^100-r•（$\root{3}{2}$）^r
=C₁₀₀^r•（$\sqrt{3}$）^100-r•（$\root{3}{2}$）^r•x^100-r，
若x的系数为有理数，即（$\sqrt{3}$）^100-r•（$\root{3}{2}$）^r为有理数，
则100-r为2的倍数，r为3的倍数，
设r=3n，则100-3n为2的整数倍，
分析可得，有r=0，6，12，18，24，…，96共17个符合条件，
故选：B．

点评 本题考查了二项式定理的应用问题以及整数的整除性质，是基础题．