Question

设函数y=f（x）的定义域为R．对于正数K，定义“Ψ”函数f_Ψ（x）=

f(x)， f(x)≤K K， f(x)＞K

，若f（x）=2-x-e^-x，恒有f_Ψ（x）=f（x），则K的最小值为

 

．

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：函数的性质及应用

分析：根据新定义的函数建立fφ（x）与f（x）之间的关系，通过二者相等得出实数k满足的条件，利用导数或者函数函数的单调性求解函数的最值，进而求出k的范围，进一步得出所要的结果．

解答： 解：由题意可得出k≥f（x）_最大值，
由于f′（x）=-1+e^-x，令f′（x）=0，e^-x=1=e⁰解出-x=0，即x=0，
当x＞0时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
故当x=0时，f（x）取到最大值f（0）=2-1=1．
故当k≥1时，恒有fφ（x）=f（x）．
因此K的最小值是1．
故答案为：1．

点评：本题考查学生对新定义型问题的理解和掌握程度，理解好新定义的分段函数是解决本题的关键，将所求解的问题转化为求解函数的最值问题，利用了导数的工具作用，体现了恒成立问题的解题思想．