Question

已知函数f（x）=-x²+2ax+1-a在区间[0，1]的最大值为2，则a的值为

 

．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：这是一个动函数、定区间的二次函数的最值问题，由于二次项系数为-1，所以函数f（x）=-x²+2ax+1-a的图象的开口方向是向下的，对称轴为x=a，因此需要按对称轴与区间的关系进行分类讨论．

解答： 解：函数f（x）=-x²+2ax+1-a的对称轴为x=a，图象开口向下，
①当a≤0时，函数f（x）=-x²+2ax+1-a在区间[0，1]是减函数，
∴f_max（x）=f（0）=1-a，由1-a=2，得a=-1，
②当0＜a≤1时，函数f（x）=-x²+2ax+1-a在区间[0，a]是增函数，在[a，1]上是减函数，
∴fmax(x)=f(a)=-a2+2a2+1-a=a²-a+1，
由a²-a+1=2，解得a=

1+ 5

2

或a=

1- 5

2

，
∵0＜a≤1，∴两个值都不满足；
 ③当a＞1时，函数f（x）=-x²+2ax+1-a在区间[0，1]是增函数，
∴fmax（x）=f（1）=-1+2a+1-a=a，
∴a=2
 综上可知，a=-1或a=2．
 故答案为：a=-1或a=2．

点评：本题考查二次函数在闭区间上的最值问题，考查了数形结合、分类讨论的数学思想．