Question

已知函数f（t）对任意实数x、y都满足f²（x+y）=f（x）+2[f（y）]，f（1）≠0，则f（2003）=

 

．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：计算题

分析：应用赋值法，令x=y=0求出f（0），再令x=0，y=1或x=1，y=0，推出f（1）=f（0），根据f（1）≠0，求出f（0），再令x=2003，y=0或x=0，y=2003，得到f（2003）=f（0）=3．

解答： 解：令x=y=0，则f²（0）=f（0）+2f（0）即f（0）=0或3，
令x=0，y=1则f²（1）=f（0）+2f（1），①
令x=1，y=0则f²（1）=f（1）+2f（0），②
由①②得，f（1）=f（0），
∵f（1）≠0，∴f（1）=f（0）=3，
令x=2003，y=0，则f²（2003）=f（2003）+2f（0），③
令x=0，y=2003，则f²（2003）=f（0）+2f（2003），④
由③④得，f（2003）=f（0）
∵f（0）=3，∴f（2003）=3．
故答案为：3．

点评：本题考查抽象函数及应用，考查解决抽象函数的常用方法：赋值法，正确赋值是迅速解题的关键，应掌握．