Question

已知数列为公差不为的等差数列，为前项和，和的等差中项为，且．令数列的前项和为．
（1）求及；
（2）是否存在正整数成等比数列？若存在，求出所有的的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1），；（2）存在，.

解析试题分析：（1）由条件设公差为，从而得到，即得到.再代入中，通过裂项相消法即可得；（2）先假设存在，分别写出表达式，再由等比中项的性质得到，再通过分析得，而，且都是正整数，则可得只能为2，代入得符合题意.所以存在可以使成等比数列.
试题解析：（Ⅰ）因为为等差数列，设公差为，则由题意得

整理得
所以     3分
由
所以     5分
（Ⅱ）假设存在
由（Ⅰ）知，，所以
若成等比，则有
   8分
   （1）
因为，所以，     10分
因为，当时，带入（1）式，得；
综上，当可以使成等比数列.     12分
考点：1.等差中项的性质；2.等比中项的性质；3.裂项相消法.