Question

【题目】给定公差大于0的有限正整数等差数列，其中，为质数．甲、乙两人轮流从个石子中取石子，规定：每次每人可取个石子，取走的石子不再放回，甲先取，取到最后一个石子者为胜．试问：谁有必胜策略？

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

设，其中，．

令，．

那么，当时，乙有必胜策略；当时，甲有必胜策略；当时，两人都有不输的策略．

证明如下：

（1）当时，乙的策略为：若甲取个石子，则由等差数列的性质，存在，使，乙取个石子．这样，乙每次都保证他取后剩下的石子数模余0，这使得甲每次都不能使他取后剩下的石子数模余0，从而，甲无法取到最后一个石子．又每次操作，甲、乙合起来共取个石子，而是的倍数，若干次操作后，石子全部取走，乙可取到最后一个石子，故乙获胜．

（2）当时，甲的策略为：先取走个石子，则剩下的石子数模余0，转化为前面的情形（1），故甲获胜．

（3）当时，证明两人都有不输的策略．

由于，考察模数列．

因为的各项互不相同，所以，的各项互不相同．由此可以断言的各项不能都属于．

否则，是的一个排列，所以，

，即．

则．

又 ，

可得．故．

因为为质数，所以，或．

但，，矛盾，所以，中至少有一项，设为，它不属于．又由可知，．

从而，．

由此可见，甲可取个石子，使剩下的石子数模的余数仍属于，下一次操作无法取走所有石子．

类似地，乙也有同样的策略，直至无法取出石子，游戏终止．

于是，两人都有不输的策略．