Question

19．已知数列{a_n}中，a₁=3，对一切n∈N*，有a_n＞0且a_n+1=$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{2（{a}_{n}-1）}$．
（1）求证：a_n＞2且a_n+1＜a_n；
（2）求证：a₁+a₂+a₃+…+a_n＜2（n+1）

Answer 1

分析 （1）利用数学归纳法证明，当n=1时结论成立，第二步假设n=k时结论成立，证明n=k+1时不等式也成立即可；结合结论，可利用作商比较法证明．
（1）利用（1）的结论逐步放缩即可证明

解答 证明：（1）证明：用数学归纳法证明，
①当n=1，a₁=a＞2，结论成立．
②假设当n=k（k≥2）时结论成立，即a_k＞2，
那么当n=k+1时，a _k+1-2=$\frac{{a}_{k}^{2}}{2（{a}_{k}-1）}$-2=$\frac{{a}_{k}^{2}-4{a}_{k}+4}{2（{a}_{k}-1）}$=$\frac{（{a}_{k}-2）^{2}}{2（{a}_{k}-1）}$＞0，即a_k+1＞2，
由①②可知，n∈N^*时都有a_n＞2．
当a_n＞2时，$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n}}{2（{a}_{n}-1）}$=$\frac{1}{2（1-\frac{1}{{a}_{n}}）}$＜$\frac{1}{2（1-\frac{1}{2}）}$=1，所以a_n+1＜a_n．
（2）由（1）得a_n-2=$\frac{{a}_{n-1}-2}{2}$•$\frac{{a}_{n-1}-2}{{a}_{n-1}-1}$＜$\frac{{a}_{n-1}-2}{2}$，
∴a_n-2＜$\frac{{a}_{n-1}-2}{2}$＜$\frac{{a}_{n-2}-2}{{2}^{2}}$＜…＜$\frac{{a}_{1}-2}{{2}^{n-1}}$，n≥2，
∴（a₁-2）+（a₂-2）+…+a_n-2＜（3-2）（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$）=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$=2（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$）=2，
∴a₁+a₂+a₃+…+a_n＜2（n+1）

点评 本题考查数学归纳法证明不等式的应用和放缩法证明不等式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．