Question

8．已知四面体ABCD的顶点都在同一个球的球面上，BC=$\sqrt{3}$，BD=4，且满足BC⊥BD，AC⊥BC，AD⊥BD．若该三棱锥的体积为$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$，则该球的球面面积为23π．

Answer 1

分析 利用四面体ABCD的体积为$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$，求出a到底面积BCD的距离，求出球O的半径．然后求解球的表面积．

解答 解：由题意，如图：BC⊥BD，AC⊥BC，AD⊥BD．作CE∥BD，ED∥BC，可得CBDE是矩形，可得AE⊥平面BCDE，
BC=$\sqrt{3}$，BD=4，该三棱锥的体积为$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$，
可得$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×\sqrt{3}×AE$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，可得AE=2，并且AB为球的直径，BE=$\sqrt{3+16}$=$\sqrt{19}$，
AB=$\sqrt{19+4}$=$\sqrt{23}$，
∴球的表面积4π×$\frac{A{B}^{2}}{4}$=23π，
故答案为：23π．

点评 本题给出四面体ABCD的体积，考查球O的表面积的求法，正确求出球的半径是关键．