Question

16．若x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x-1≥0}\\{x-y≤0}\\{x+y-4≤0}\end{array}\right.$，则z=x+2y的最大值与最小值的差为4．

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得目标函数的最值，作差得答案．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x-1≥0}\\{x-y≤0}\\{x+y-4≤0}\end{array}\right.$作出可行域如图，

联立$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{x-y=0}\end{array}\right.$，解得A（1，1），
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{x+y-4=0}\end{array}\right.$，解得B（1，3），
化目标函数z=x+2y为y=$-\frac{x}{2}+\frac{z}{2}$，由图可知，当直线y=$-\frac{x}{2}+\frac{z}{2}$分别过点A、B时，直线y=$-\frac{x}{2}+\frac{z}{2}$在y轴上的截距取最小、最大值．
分别为：3、7．
∴z=x+2y的最大值与最小值的差为7-3=4．
故答案为：4．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．