Question

4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且$\frac{{\sqrt{3}c-a}}{b}=\frac{cosA}{cosB}$．
（Ⅰ）求sinB的值；
（Ⅱ）若a=2$\sqrt{3}$，b=2$\sqrt{6}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理化简$\frac{{\sqrt{3}c-a}}{b}=\frac{cosA}{cosB}$，求出cosB的值，再用平方关系求出sinB的值；
（Ⅱ）由正弦定理求得sinA的值，再用平方关系求出cosA，从而求出sinC和△ABC的面积．

解答 解：（Ⅰ）△ABC中，$\frac{{\sqrt{3}c-a}}{b}=\frac{cosA}{cosB}$，
由正弦定理得$\frac{\sqrt{3}sinC-sinA}{sinB}$=$\frac{cosA}{cosB}$，
∴$\sqrt{3}$cosBsinC-sinAcosB=cosAsinB，
∴$\sqrt{3}$cosBsinC=sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=sinC，
∴$\sqrt{3}$cosB=1，
解得cosB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
又B∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴sinB=$\sqrt{1{-cos}^{2}B}$=$\sqrt{1{-（\frac{\sqrt{3}}{3}）}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$；
（Ⅱ）a=2$\sqrt{3}$，b=2$\sqrt{6}$，
由正弦定理得$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$，
即$\frac{2\sqrt{3}}{sinA}$=$\frac{2\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{6}}{3}}$，
解得sinA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
又a＜b，∴A＜B，
∴cosA=$\sqrt{1{-sin}^{2}A}$=$\sqrt{1{-（\frac{\sqrt{3}}{3}）}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$；
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$+$\frac{\sqrt{6}}{3}$×$\frac{\sqrt{6}}{3}$=1，
∴△ABC的面积为S=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×2$\sqrt{6}$×1=6$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了三角形的面积公式与正弦定理公式的应用问题，也考查了两角和的正弦公式应用问题，是综合题．