【题目】已知定义域为
,对任意
、
都有
,当
时,
,
.
(1)求;
(2)证明:在
上单调递减;
(3)解不等式:.
【答案】(1);(2)证明见解析;(3)
.
【解析】
(1)先令求出
的值,再令
,
可求出
的值;
(2)构造函数,可得出
,令
可得出函数
为奇函数,再令
,可得出
,结合函数的单调性的定义可得出函数
在
上为减函数,由此可得出函数
在
上单调递减;
(3)将所求不等式化为,求出
,然后由题意得出
,由函数
的单调性可得出
,解出该不等式即可.
(1)令,可得
,得出
,
令,
,则
,即
,解得
;
(2)构造函数,
由可得
,且
.
设,则
,
,
函数
为奇函数,
当时,
.
任取、
,且
,则
,
,
,
则函数在
上是减函数,因此,函数
在
上也是减函数;
(3)由(2)可得,由
,
可得,即
,
,且
,
,
由(2)知,函数在
上是减函数,
,即
,
解得.
因此,不等式的解集为
.
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【题目】已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)当m>0时,若对于区间[1,2]上的任意两个实数x1,x2,且x1<x2,都有,成立,求m的最大值.
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【题目】已知圆的方程为
,直线
的方程为
,点
在直线
上.
(1)若点的坐标为
,过点
作圆
的割线交圆
于
两点,当
时,求直线
的方程;.
(2)若过点作圆
的切线
,切点为
,求证:经过
四点的圆必过定点,并求出所有定点的坐标.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,已知平行于轴的动直线
交抛物线
于点
,点
为
的焦点.圆心不在
轴上的圆
与直线
,
,
轴都相切,设
的轨迹为曲线
.
⑴求曲线的方程;
⑵若直线与曲线
相切于点
,过
且垂直于
的直线为
,直线
,
分别与
轴相交于点
,
.当线段
的长度最小时,求
的值.
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【题目】中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思,关于“刍童”体积计算的描述,《九章算术》注曰:“倍上袤,下袤从之,亦倍下袤,上袤从之,各以其广乘之,并,以高乘之,皆六而一.”其计算方法是:将上底面的长乘二,与下底面的长相加,再与上底面的宽相乘,将下底面的长乘二,与上底面的长相加,再与下底面的宽相乘;把这两个数值相加,与高相乘,再取其六分之一.已知一个“刍童”的下底面是周长为18的矩形,上底面矩形的长为3,宽为2,“刍童”的高为3,则该“刍童”的体积的最大值为
A. B.
C. 39 D.
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【题目】“微信运动”是一个类似计步数据库的公众账号.用户只需以运动手环或手机协处理器的运动数据为介,然后关注该公众号,就能看见自己与好友每日行走的步数,并在同一排行榜上得以体现.现随机选取朋友圈中的50人,记录了他们某一天的走路步数,并将数据整理如下:
步数/步 | 10000以上 | ||||
男生人数/人 | 1 | 2 | 7 | 15 | 5 |
女性人数/人 | 0 | 3 | 7 | 9 | 1 |
规定:人一天行走的步数超过8000步时被系统评定为“积极性”,否则为“懈怠性”.
(1)以这50人这一天行走的步数的频率代替1人一天行走的步数发生的概率,记表示随机抽取3人中被系统评为“积极性”的人数,求
和
的数学期望.
(2)为调查评定系统的合理性,拟从这50人中先抽取10人(男性6人,女性4人).其中男性中被系统评定为“积极性”的有4人,“懈怠性”的有2人,从中任意选取3人,记选到“积极性”的人数为;
其中女性中被系统评定为“积极性”和“懈怠性”的各有2人,从中任意选取2人,记选到“积极性”的人数为;求
的概率.
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【题目】一年一度的“双十一”网络购物节来了,某工厂网上直营店决定对某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为20元,年销售7万件.为了抓住“双十一”的大好商机,扩大该商品的影响力,提高年销售量.工厂决定引进新生产线对该商品进行技术.升级,并提高定价到元.新生产线投入需要固定成本
万元,变化成本
万元,另外需要
万元作为新媒体宣传费用.问:当该商品技术升级后的销售量
至少应达到多少万件时,才可能使升级后的年销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价.
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