Question

7．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sin（ωx+φ）-cos（ωx+φ）（0＜φ＜π，ω＞0）为偶函数，且函数y=f（x）的图象的相邻对称轴之间的距离为$\frac{π}{2}$．
（Ⅰ）求f（$\frac{π}{8}$）的值，
（Ⅱ）x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]时，函数g（x）=f（x）-m有两个零点，求m的范围，
（Ⅲ）求函数y=f（x）+f（x+$\frac{π}{4}$）的最大值及对应的x的值．

Answer 1

分析 利用两角差的正弦化简，再由已知求得ω与φ的值，可得函数f（x）的解析式．
（Ⅰ）在函数解析式中取x=$\frac{π}{8}$求f（$\frac{π}{8}$）的值；
（Ⅱ）作出函数f（x）=2cos2x，x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]的图象，数形结合可得函数g（x）=f（x）-m有两个零点的实数m的范围；
（Ⅲ）求出函数y=f（x）+f（x+$\frac{π}{4}$），利用辅助角公式化积后可得函数的最大值及对应的x的值．

解答 解：f（x）=$\sqrt{3}$sin（ωx+φ）-cos（ωx+φ）=2sin（ωx+φ-$\frac{π}{6}$）．
∵函数y=f（x）的图象的相邻对称轴之间的距离为$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{T}{2}=\frac{π}{2}$，即T=π，则$ω=\frac{2π}{T}=\frac{2π}{π}=2$．
∴f（x）=2sin（2x+φ-$\frac{π}{6}$）．
又f（x）为偶函数，∴φ-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}+kπ$，即φ=$\frac{2π}{3}+kπ$，k∈Z．
∵0＜φ＜π，∴φ=$\frac{2π}{3}$，
则f（x）=2sin（2x+$\frac{2π}{3}$-$\frac{π}{6}$）=2sin（2x+$\frac{π}{2}$）=2cos2x．
（Ⅰ）f（$\frac{π}{8}$）=2cos（2×$\frac{π}{8}$）=2cos$\frac{π}{4}$=2×$\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$；
（Ⅱ）作出函数f（x）=2cos2x，x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]的图象如图，
要使函数g（x）=f（x）-m有两个零点，则m的范围为[1，2）；
（Ⅲ）y=f（x）+f（x+$\frac{π}{4}$）=2cos2x+2cos（2x+$\frac{π}{2}$）=-2sin2x+2cos2x=-2$\sqrt{2}sin（2x-\frac{π}{4}）$．
当2x-$\frac{π}{4}$=-$\frac{π}{2}+2kπ$，即x=$-\frac{π}{8}+kπ$，k∈Z时，函数y=f（x）+f（x+$\frac{π}{4}$）取最大值$2\sqrt{2}$．

点评 本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，是中档题．