已知函数f（x）=ax+b，当x∈[a1，b1]时值域为[a2，b2]，当x∈[a2，b2]时值域为[a3，b3]，当x∈[an-1，bn-1]时值域为[an，bn]…其中a、b为常数，a1=0，b1=1
（1）若a=1，b=2，求数列{an}和{bn}的通项公式．
（2）若a＞0，a≠1，要使数列{bn}是公比不为1的等比数列，求b的值．
（3）若a＞0，设数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，求Tn-Sn的值．
【答案】
分析：（1）由a=1，b=2，可得f（x）=x+2．函数f（x）单调递增，且当x∈[a
n-1，b
n-1]时值域为[a
n，b
n]．
可得当n≥2时，a
n=f（a
n-1）=a
n-1+2，b
n=f（b
n-1）=b
n-1+2，由a
1及b
1，利用等差数列的通项公式即可得出．
（2）当a＞0时，函数f（x）=ax+b单调递增，可得当n≥2时，b
n=f（b
n-1）=ab
n-1+b，（*）
因为当b
n=b
n-1时，b
n=1，b=1-a，故b≠1-a（a＞0，a≠1），再利用数列{b
n}的公比为q，b
1=1，对于（*）分别取n=2，3可得
即可解得b的值．
（3）当a＞0时，函数f（x）=ax+b单调递增，可得当n≥2时，a
n=f（a
n-1）=aa
n-1+b，b
n=f（b
n-1）=ab
n-1+b，
①当a=1时，a
n=0+（n-1）•b，b
n=1+（n-1）b，由b
n-a
n=1即可得出T
n-S
n．
②当a≠1时，由
，
，
可得
，
，可得
，于是T
n-S
n=1+a+a
2+…+a
n-1．
解答：解：（1）∵a=1，b=2，∴f（x）=x+2，
∵函数f（x）单调递增，且当x∈[a
n-1，b
n-1]时值域为[a
n，b
n]．
∴当n≥2时，a
n=f（a
n-1）=a
n-1+2，b
n=f（b
n-1）=b
n-1+2，
又a
1=0，b
1=1，
∴a
n=0+（n-1）×2=2n-2，b
n=1+（n-1）×2=2n-1．
即a
n=2n-2，b
n=2n-1．
（2）当a＞0时，函数f（x）=ax+b单调递增，∴当n≥2时，b
n=f（b
n-1）=ab
n-1+b，（*）
当b
n=b
n-1时，b
n=1，b=1-a，
因此b≠1-a（a＞0，a≠1）．
设数列{b
n}的公比为q，又b
1=1，对于（*）分别取n=2，3可得
化为b（a+b-1）=0，而a+b-1≠0，∴b=0．
故当b=0时数列{b
n}是公比不为1的等比数列．
因此b=0．
（3）当a＞0时，函数f（x）=ax+b单调递增，
∴当n≥2时，a
n=f（a
n-1）=aa
n-1+b，b
n=f（b
n-1）=ab
n-1+b，
①当a=1时，a
n=0+（n-1）•b，b
n=1+（n-1）b，
∴T
n-S
n=1+1+…+1=n．
②当a≠1时，由
，
，
可得
，
，
∴可得
，
∴T
n-S
n=1+a+a
2+…+a
n-1=
．
综上可知：当a=1时，T
n-S
n=n；
当a≠1时，T
n-S
n=
．
点评：熟练掌握一次函数的单调性、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、分类讨论的思想方法是解题的关键．
