Question

15．对于非零向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$，下列四个条件中使$\frac{\overrightarrow a}{|\overrightarrow a|}$=$\frac{\overrightarrow b}{|\overrightarrow b|}$成立的充分不必要条件是（　　）

• A． $\overrightarrow a$=-$\overrightarrow b$
• B． $\overrightarrow a$∥$\overrightarrow b$
• C． $\overrightarrow a$=3$\overrightarrow b$
• D． $\overrightarrow a$∥$\overrightarrow b$且|$\overrightarrow a$|=|$\overrightarrow b$|

Answer 1

分析 结合向量相等的定义，利用充分条件的定义进行判断即可．

解答 解：对于A：当$\overrightarrow{a}$=-$\overrightarrow{b}$时，$\frac{\overrightarrow a}{|\overrightarrow a|}$=$\frac{\overrightarrow b}{|\overrightarrow b|}$不成立，所以A不是充分条件，
对于B：当$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，且$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$两个向量方向相反时，$\frac{\overrightarrow a}{|\overrightarrow a|}$=$\frac{\overrightarrow b}{|\overrightarrow b|}$不成立，所以B不是充分条件，
对于C：当$\overrightarrow{a}$=3$\overrightarrow{b}$时，满足$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$同向共线，满足$\frac{\overrightarrow a}{|\overrightarrow a|}$=$\frac{\overrightarrow b}{|\overrightarrow b|}$成立，是充分条件，
若$\frac{\overrightarrow a}{|\overrightarrow a|}$=$\frac{\overrightarrow b}{|\overrightarrow b|}$成立，得不到$\overrightarrow{a}$=3$\overrightarrow{b}$，不是必要条件，所以C是充分不必要条件，
对于D：若|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|且$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，则$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$两个向量为相等向量或相反向量，
当$\overrightarrow{a}$=-$\overrightarrow{b}$时，$\frac{\overrightarrow a}{|\overrightarrow a|}$=$\frac{\overrightarrow b}{|\overrightarrow b|}$不成立，所以D不是充分条件，
故选：C．

点评 本题主要考查向量共线的应用，要利用向量共线讨论向量方向相同或相反．