Question

7．如图在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，AB=AA₁=2，AC=$\sqrt{2}$，过BC的中点D作平面ACB₁的垂线，交平面ACC₁A₁于E，则点E到平面BB₁C₁C的距离为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． $\frac{2\sqrt{2}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 连接A₁B，A₁C，可证A₁B⊥平面AB₁C，故而DE∥A₁B，于是E为A₁C的中点，所以点E到平面BB₁C₁C的距离为A到平面BB₁C₁C的距离的$\frac{1}{2}$，即Rt△ABC的斜边BC边上的高的一半．

解答 解：连接A₁B，A₁C，
∵AC⊥AA₁，BC⊥AA₁，
∴AC⊥平面ABB₁A₁，又AB₁?平面ABB₁A₁，
∴AC⊥AB₁，
又AB=AA₁，AB⊥AA₁，∴四边形ABB₁A₁是正方形，
∴A₁B⊥AB₁，又AB₁?平面AB₁C，AC?平面AB₁C，AB₁∩AC=A，
∴A₁B⊥平面AB₁C，又DE⊥平面AB₁C，
∴DE∥A₁B，∵D为BC的中点，
∴E为A₁C的中点．
∴E到平面BB₁C₁C的距离等于A到平面BB₁C₁C的距离的$\frac{1}{2}$．
∵平面ABC⊥平面BB₁C₁C，
∴A到平面BB₁C₁C的距离为Rt△ABC的斜边BC边上的高．
∵AB=2，AC=$\sqrt{2}$，∴BC=$\sqrt{6}$，
∴Rt△ABC的斜边BC边上的高为$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{6}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
∴E到平面BB₁C₁C的距离为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故选：C．

点评 本题考查了线面垂直的判定，空间距离的计算，属于中档题．