【题目】已知函数,
,若
有最小值,则实数
的取值范围是( )
A. B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
对函数求导得出
,由题意得出函数
在
上存在极小值点,然后对参数
分类讨论,在
时,函数
单调递增,无最小值;在
时,根据函数
的单调性得出
,从而求出实数
的取值范围.
,
,
构造函数,其中
,则
.
①当时,对任意的
,
,则函数
在
上单调递减,
此时,,则对任意的
,
.
此时,函数在区间
上单调递增,无最小值;
②当时,解方程
,得
.
当时,
,当
时,
,
此时,.
(i)当时,即当
时,则对任意的
,
,
此时,函数在区间
上单调递增,无最小值;
(ii)当时,即当
时,
,当
时,
,
由零点存在定理可知,存在和
,使得
,
即,且当
和
时,
,此时,
;
当时,
,此时,
.
所以,函数在
处取得极大值,在
取得极小值,
由题意可知,,
,
可得,又
,可得
,构造函数
,其中
,
则,此时,函数
在区间
上单调递增,
当时,则
,
.
因此,实数的取值范围是
,故选:C.
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【题目】在直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数).以坐标原点为极点,
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)将的方程化为普通方程,将
的方程化为直角坐标方程;
(2)已知直线的参数方程为
(
,
为参数,且
),
与
交于点
,
与
交于点
,且
,求
的值.
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【题目】(12分)
已知抛物线的焦点F与椭圆
的一个焦点重合,点
在抛物线上,过焦点F的直线l交抛物线于A,B两点.
(1)求抛物线C的标准方程以及的值.
(2)记抛物线的准线轴交于点H,试问是否存在常数
,使得
,且
都成立.若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】某地区发现某污染源,相关部门对污染情况进行调查研究后,发现一天中污染指数与时刻x(时)的函数关系为
,其中a是与气象有关的参数,且
.按规定,若每天污染指数不超过2,则环保合格,否则需要整改.如果以每天中
的最大值作为当天的污染指数,并记为
,那么该地区污染指数的超标情况为________.
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【题目】2016年9月,第22届鲁台经贸洽谈会在潍坊鲁台会展中心举行,在会展期间某展销商销售一种商品,根据市场调查,每件商品售价(元)与销量
(万件)之间的函数关系如图所示,又知供货价格与销量成反比,比例系数为20.(注:每件产品利润=售价-供货价格)
(Ⅰ)求售价15元时的销量及此时的供货价格;
(Ⅱ)当销售价格为多少时总利润最大,并求出最大利润.
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【题目】已知圆具有以下性质:设A,B是圆C:上关于原点对称的两点,点P是圆上的任意一点.若直线PA,PB的斜率都存在并分别记为
,
,则
=﹣1,是与点P的位置无关的定值.
(1)试类比圆的上述性质,写出椭圆的一个类似性质,并加以证明;
(2)如图,若椭圆M的标准方程为,点P在椭圆M上且位于第一象限,点A,B分别为椭圆长轴的两个端点,过点A,B分别作
⊥PA,
⊥PB,直线
,
交于点C,直线
与椭圆M的另一交点为Q,且
,求
的取值范围(可直接使用(1)中证明的结论).
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【题目】已知曲线:
,
:
,则下面结论正确的是( )
A. 把上各点的横坐标缩短到原来的
倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移
个单位长度,得到曲线
B. 把上各点的横坐标缩短到原来的
倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移
个单位长度,得到曲线
C. 把上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移
个单位长度,得到曲线
D. 把上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个
单位长度,得到曲线
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【题目】关于函数图象的有下列说法:
①若函数满足
,则
的一个周期为
;
②若函数满足
,则
的图象关于直线
对称;
③函数与函数
的图象关于直线
对称;
④若函数与函数
的图象关于原点对称,则
,
其中正确的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
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【题目】为了调查某大学学生在某天上网的时间,随机对100名男生和100名女生进行了不记名的问卷调查,得到了如下的统计结果:
(1)若该大学共有女生750人,试估计其中上网时间不少于60分钟的人数;
(2)完成联表,并回答能否有90%的把握认为“大学生上网时间与性别有关”.
附:,其中n=a+b+c+d为样本容量.
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