Question

16．已知正项等比数列{a_n}满足：a₇=a₆+2a₅，若存在两项a_m，a_n，使得$\sqrt{{a}_{m}{a}_{n}}$=4a₁，则$\frac{1}{m}$+$\frac{16}{n}$的最小值为（　　）

• A． $\frac{25}{6}$
• B． $\frac{21}{5}$
• C． $\frac{8}{3}$
• D． $\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 设{a_n}的公比为q（q＞0），由等比数列的通项公式化简a₇=a₆+2a₅，求出q，代入a_ma_n=16a₁²化简得m，n的关系式，由“1”的代换和基本不等式求出式子的范围，验证等号成立的条件，由m、n的值求出式子的最小值．

解答 解：设正项等比数列{a_n}的公比为q，且q＞0，
由a₇=a₆+2a₅得：a₆q=a₆+$\frac{2{a}_{6}}{q}$，
化简得，q²-q-2=0，解得q=2或q=-1（舍去），
因为a_ma_n=16a₁²，所（a₁q^m-1）（a₁q^n-1）=16a₁²，
则q^m+n-2=16，解得m+n=6，
$\frac{1}{m}$+$\frac{16}{n}$=$\frac{1}{6}$×（m+n）×（$\frac{1}{m}$+$\frac{16}{n}$）=$\frac{1}{6}$×（17+$\frac{n}{m}$+$\frac{16m}{n}$）≥$\frac{1}{6}$×（17+2$\sqrt{\frac{n}{m}×\frac{16m}{n}}$）=$\frac{25}{6}$，
当且仅当$\frac{n}{m}$=$\frac{16m}{n}$，解得：m=$\frac{6}{5}$，n=$\frac{24}{5}$，
因为m n取整数，所以均值不等式等号条件取不到，$\frac{1}{m}$+$\frac{16}{n}$＞$\frac{25}{6}$，
验证可得，当m=1、n=5时，取最小值为$\frac{21}{5}$．
故答案选：B．

点评 本题考查等比数列的通项公式，利用“1”的代换和基本不等式求最值问题，考查化简及计算能力，注意等号的成立的条件，属于易错题．