Question

设数列{a_n}对任意n∈N^*都有（kn+b）（a₁+a_n）+p=2（a₁+a₂+…+a_n）（其中k、b、p是常数）．
（Ⅰ）当k=0，b=3，p=-4时，求a₁+a₂+…+a_n；
（Ⅱ）当k=1，b=0，p=0时，若a₃=3，a₉=15，求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）当k=1，b=0，p=0时，若数列{a_n}中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，且a₂-a₁=2．S_n是数列{a_n}的前n项和，满足

1

6

＜

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜

11

18

，求数列{a_n}首项a₁的值．

Answer 1

考点：数列的求和,数列的应用

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）当k=0，b=3，p=-4时，由已知条件推导出3（a_n+1-a_n）=2a_n+1，a_n+1=3a_n，由此得到数列{a_n}是以首项为1，公比为3的等比数列，从而能求出a₁+a₂+…+a_n．
（Ⅱ）当k1，b=0，p=0时，由已知条件推导出na_n+2-2na_n+1+na_n=0，从而得到数列{a_n}是等差数列，由此求出a_n=2n-3．
（Ⅲ）由（II）知数列{a_n}是等差数列，a_n=a₁+2（n-1）．由此进行分类讨论，能求出数列{a_n}首项a₁的值．

解答： 解：（Ⅰ）当k=0，b=3，p=-4时，
3（a₁+a_n）-4=2（a₁+a₂+…+a_n），①
用n+1去代n得，3（a₁+a_n+1）-4=2（a₁+a₂+…+a_n+1），②
②-①得，3（a_n+1-a_n）=2a_n+1，a_n+1=3a_n，
在①中令n=1得，a₁=1，则a_n≠0，∴

an+1

an

=3，
∴数列{a_n}是以首项为1，公比为3的等比数列，
∴a₁+a₂+…+a_n=

1-3n

1-3

=

3n-1

2

．
（Ⅱ）当k1，b=0，p=0时，n（a₁+a_n）=2（a₁+a₂+…+a_n），③
用n+1去代n得，（n+1）（a₁+a_n+1）=2（a₁+a₂+…+a_n+a_n+1），④
④-③得，（n-1）a_n+1-na_n+a₁=0，⑤．
用n+1去代n得，na_n+2-（n+1）a_n+1+a₁=0，⑥
⑥-⑤得，na_n+2-2na_n+1+na_n=0，即a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n，．
∴数列{a_n}是等差数列．∵a₃=3，a₉=15，
∴公差d=

15-3

9-3

=2，∴a_n=2n-3．
（Ⅲ）由（II）知数列{a_n}是等差数列，
∵a₂-a₁=2，∴a_n=a₁+2（n-1）．
又对任意m，n∈N^*，必存在p∈N^*，
使a₁+2（n-1）+a₁+2（m-1）=a₁+2（p-1），
得a₁=2，故a₁是偶数，10分
又由已知，

1

6

＜

1

S1

＜

11

18

，故

18

11

＜a1＜6．
一方面，当

18

11

＜a1＜6时，S_n=n（n+a₁-1）＞0，对任意n∈N^*，
都有

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＞

1

S1

＞

1

6

．
另一方面，当a₁=2时，S_n=n（n+1），

1

Sn

=

1

n

-

1

n+1

，
则

1

S1

+

1

S2

+

1

S2

+…+

1

Sn

=1-

1

n+1

，
取n=2，则

1

S1

+

1

S2

=1-

1

3

=

2

3

＞

11

18

，不合题意．
当a₁=4时，S_n=n（n+3），

1

Sn

=

1

3

(

1

n

-

1

n+3

)，
则

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

=

11

18

-

1

3

(

1

n+1

+

1

n+2

+

1

n+3

)＜

11

18

，
∴a₁=4．

点评：本题考查数列的前n项和的求法，考查数列的通项公式的求法，考查数列的首项的求法，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．