某个公园有个池塘,其形状为直角△ABC,∠C=90°,AB=2百米,BC=1百米.
(1)现在准备养一批供游客观赏的鱼,分别在AB、BC、CA上取点D,E,F,如图(1),使得EF‖AB,EF⊥ED,在△DEF喂食,求△DEF 面积S△DEF的最大值;
(2)现在准备新建造一个荷塘,分别在AB,BC,CA上取点D,E,F,如图(2),建造△DEF
连廊(不考虑宽度)供游客休憩,且使△DEF为正三角形,求△DEF边长的最小值.
(1);(2)百米.
解析试题分析:(1)求△DEF 面积S△DEF的最大值,先把△DEF 面积用一个参数表示出来,由于它是直角三角形,故只要求出两直角边DE和EF,直角△ABC中,可得,由于EF‖AB,EF⊥ED,那么有,因此我们可用CE来表示FE,DE.从而把S△DEF表示为CE的函数,然后利用函数的知识(或不等式知识)求出最大值;(2).等边△DEF可由两边EF=ED及确定,我们设,想办法也把与一个参数建立关系式,关键是选取什么为参数,由于等边△DEF位置不确定,我们可选取为参数,建立起与的关系.,则,中应用正弦定理可建立所需要的等量关系.
试题解析:(1)中,,百米,百米.
,可得,
,,
设,则米,
中,米,C到EF的距离米,
∵C到AB的距离为米,
∴点D到EF的距离为米,
可得,
∵,当且仅当时等号成立,
∴当时,即E为AB中点时,的最大值为. 7分
(2)设正的边长为,,
则,
设,可得
,,
∴.
在中,,
即,化简得, 12分
(其中是满足的锐角),
∴边长最小值为百米. 14分
考点:(1)面积与基本不等式;(2)边长与三角函数的最值.
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