Question

【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆上的点，离心率.

（1）求椭圆的方程；

（2）点在椭圆上，若点与点关于原点对称，连接并延长与椭圆的另一个交点为，连接，求面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：（1）根据条件列出关于两个方程，解方程组可得值，即得椭圆的方程；（2）联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式可得底边长（用直线斜率表示），根据点到直线距离公式可得三角形的高（用直线斜率表示），根据三角形面积公式可得面积，关于直线斜率的函数关系式，最后根据分式函数求值域方法求函数最值，注意讨论斜率不存在的情形.

试题解析：（1）依题意，，，，解得。

故椭圆的方程为.

(2)当直线的斜率不存在时，不妨取，

故.

②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

联立方程化简得，

设，则，

，

点到直线的距离，

因为是线段的中点，所以点到直线的距离为，

∴.

综上，面积的最大值为.