Question

【题目】如图，在四凌锥S﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，SA⊥CD，AB⊥平面SAD，M是SC的中点，且SA=AB=BC=2，AD=1．

（1）求证：DM∥平面SAB；
（2）求四棱锥S﹣ABCD的体积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图，

取SB的中点N，连接AN、MN，

∵点M是SC的中点，∴MN∥BC，且BC=2MN，

∵底面ABCD是直角梯形，AB垂直于AD，AB⊥BC，BC=2，AD=1，

∴AD∥BC，且BC=2AD，∴MN∥AD，且MN=AD，

∴四边形MNAD是平行四边形，∴DM∥AN，

∵DM面SAB，AN面SAB，∴DM∥平面SAB

（2）解：∵AB⊥底面SAD，SA底面SAD，AD底面SAD，

∴AB⊥SA，AB⊥AD，∵SA⊥CD，AB、CD是平面ABCD内的两条相交直线，

∴侧棱SA⊥底面ABCD，又在四棱锥S﹣ABCD中，侧棱SA⊥底面ABCD，

底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，SA=AB=BC=2，AD=1，

∴

【解析】（1）要证DM∥平面SAB，可取SB的中点N，连接AN、MN，利用中位线知识及已知条件证明四边形MNAD是平行四边形，从而得到DM∥AN，由线面平行的判定得证；（2）由AB⊥平面SAD，结合线面垂直的性质得到SA⊥AB，再由已知SA⊥CD，利用线面垂直的判定得SA⊥底面ABCD，由直角梯形的面积公式求出底面积，直接代入棱锥体积公式得答案．
【考点精析】通过灵活运用直线与平面平行的判定，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行即可以解答此题．