Question

如图，边长为2的正方形ABCD，E,F分别是AB,BC的中点，将△AED，△DCF分别沿DE,DF折起，使A,C两点重合于.

(1)求证：⊥EF;
(2)求二面角的平面角的余弦值.

Answer 1

(1)见解析；(2).

解析试题分析：(1)先根据正方形的特征得到， ，再根据点的重合得到， ，由直线与平面垂直的判定定理可知， ，再由直线与平面垂直的性质定理得到 ；(2)先取的中点，连，，由等腰三角形底边上的三线合一以及勾股定理证明，，所以是二面角的平面角，再根据已知的边的长度
试题解析：(1)证明：∵是正方形，
∴，，        ..2分
∴，，       .3分
又，              . 4分
∴，             5分
又，            .6分
∴.                      7分
(2)取的中点，连，，如图所示：

则在中，∵，，
∴，                .8分
∴，
∴，                .. 9分
所以是二面角的平面角，         10分
在中，，，
∴，∴，         ..11分
∵，∴，又，∴，   .12分
∴，          .13分
所以二面角的平面角的余弦值是.        14分
考点：1.直线与平面垂直的判定定理；2.直线与平面垂直的性质定理；3.解三角形；4.二面角及求法；5.勾股定理