Question

15．如图，在△ABC中，∠C=60°，D是BC上一点，AB=31，BD=20，AD=21．
（1）求cos∠B的值；
（2）求sin∠BAC的值和边BC的长．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理可得cosB=$\frac{A{B}^{2}+B{D}^{2}-A{D}^{2}}{2AB•BD}$．
（2）0°＜B＜180°，由（1）可得：sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{12\sqrt{3}}{31}$，可得sin∠BAC=sin[180°-（B+60°）]=sin（B+60°）．
在△ABC中，由正弦定理可得：$\frac{BC}{sin∠BAC}$=$\frac{AB}{sin∠C}$，即可得出．

解答 解：（1）在△ABC中，cosB=$\frac{A{B}^{2}+B{D}^{2}-A{D}^{2}}{2AB•BD}$=$\frac{3{1}^{2}+2{0}^{2}-2{1}^{2}}{2×31×20}$=$\frac{23}{31}$．
（2）0°＜B＜180°，由（1）可得：sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{12\sqrt{3}}{31}$，
∴sin∠BAC=sin[180°-（B+60°）]=sin（B+60°）=sinBcos60°+cosBsin60°=$\frac{1}{2}×\frac{12\sqrt{3}}{31}$+$\frac{23}{31}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{35\sqrt{3}}{62}$．
在△ABC中，由正弦定理可得：$\frac{BC}{sin∠BAC}$=$\frac{AB}{sin∠C}$，
∴BC=$\frac{ABsin∠BAC}{sin∠C}$=$\frac{31×\frac{35\sqrt{3}}{62}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=35．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．