Question

7．某厂每月生产一种投影仪的固定成本为0.5万元，但每生产100台，需要加可变成本（即另增加投入）0.25万元，市场对此产品的年需求量为500台，销售的收入函数为R（x）=5x-$\frac{x^2}{2}$（万元）（0≤x≤5），其中x是产品售出的数量（单位：百台）．
（1）求月销售利润y（万元）关于月产量x（百台）的函数解析式；
（2）当月产量为多少时，销售利润可达到最大？最大利润为多少？

Answer 1

分析 （1）分类讨论：①当0≤x≤5时，②当x＞5时，分别写出函数f（x）的表达式，最后利用分段函数的形式写出所求函数解析式即可；
（2）分别求出当0≤x≤5时，及当x＞5时，f（x）的最大值，最后综上所述，当x为多少时，f（x）有最大值．

解答 解：（1）当0≤x≤5时，投影仪能售出x百台；
当x＞5时，只能售出5百台，这时成本为（0.5+0.25x）万元．…（2分）
依题意可得利润函数为y=R（x）-（0.5+0.25x）=$\left\{{\begin{array}{l}{（5x-\frac{x^2}{2}）-（0.5+0.25x），（0≤x≤5）}\\{（5×5-\frac{5^2}{2}）-（0.5+0.25x），（x＞5）}\end{array}}\right.$…（5分）
即   $y=\left\{{\begin{array}{l}{4.75x-\frac{x^2}{2}-0.5，（0≤x≤5）}\\{12-0.25x，（x＞5）}\end{array}}\right.$．…（7分）
（2）显然，y|_x＞5＜y|_x=5；…（8分）
又当0≤x≤5时，$y=-\frac{1}{2}{（x-4.75）^2}+\frac{1}{2}×{4.75^2}-0.5$…（10分）
∴当x=4.75（百台）时有${y_{max}}=\frac{1}{2}×{4.75^2}-0.5=10.78125$（万元）
即当月产量为475台时可获得最大利润10.78125万元．…（12分）

点评 本题考查了分段函数，以及函数与方程的思想，属于基础题．函数模型为分段函数，求分段函数的最值，应先求出函数在各部分的最值，然后取各部分的最值的最大值为整个函数的最大值，取各部分的最小者为整个函数的最小值．