Question

18．在△ABC中，$\overrightarrow{|AB|}$=5，$\overrightarrow{|AC|}$=3，D是BC边中垂线上任意一点，则$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{CB}$的值是（　　）

• A． 16
• B． 8
• C． 4
• D． 2

Answer 1

分析 设BC中点为M，利用$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$表示出$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{BC}$，代入数量积公式计算．

解答 解：设BC中点为M，则$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$．
∴$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{MD}$．
∵DM⊥BC，∴$\overrightarrow{MD}•\overrightarrow{CB}=0$．
∴$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{CB}$=（$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{MD}$）$•\overrightarrow{CB}$=$\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$$•\overrightarrow{CB}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$）•（$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$）
=$\frac{1}{2}$（${\overrightarrow{AB}}^{2}-{\overrightarrow{AC}}^{2}$）=$\frac{1}{2}$×（25-9）=8．
故选：B．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，平面向量的线性运算的几何意义，属于中档题．