Question

9．如图，已知线段AB长度为a（a为定值），在其上任意选取一点M，在AB的同一侧分别以AM、MB为底作正方形AMCD、MBEF，⊙P和⊙Q是这两个正方形的外接圆，它们交于点M、N．试以A为坐标原点，建立适当的平面直角坐标系．
（1）证明：不论点M如何选取，直线MN都通过一定点S；
（2）当$|AM|=\frac{1}{3}|AB|$时，过A作⊙Q的割线，交⊙Q于G、H两点，在线段GH上取一点K，使$\frac{1}{|AG|}+\frac{1}{|AH|}$=$\frac{2}{|AK|}$求点K的轨迹．

Answer 1

分析 （1）以A为坐标原点，AB为x轴正方向，建立平面直角坐标系，求出圆P、圆Q的方程，由圆系方程求得MN所在直线方程，再由直线系方程可得直线MN都通过一定点；
（2）由题意求出M的坐标，得到圆Q的方程，设G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），K（x，y），GH所在直线斜率为k，由$\frac{1}{|AG|}+\frac{1}{|AH|}$=$\frac{2}{|AK|}$，可得$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{2}{x}$，整理后代入根与系数的关系可得点K的轨迹是直线2x+y-a=0被⊙Q所截的一条线段．

解答 （1）证明：以A为坐标原点，AB为x轴正方向，建立平面直角坐标系．

设M（m，0），则：A（0，0），B（a，0），C（m，m），F（m，a-m），
$P（\frac{m}{2}，\frac{m}{2}）$，$Q（\frac{a+m}{2}，\frac{a-m}{2}）$，
⊙P方程为：${（{x-\frac{m}{2}}）^2}+{（{y-\frac{m}{2}}）^2}=\frac{m^2}{2}$，即：x²+y²-mx-my=0  ①，
⊙Q方程为：${（{x-\frac{a+m}{2}}）^2}+{（{y-\frac{a-m}{2}}）^2}=\frac{{{{（a-m）}^2}}}{2}$即：x²+y²-（a+m）x-（a-m）y+am=0  ②．
①-②得，公共弦MN所在直线方程：ax+（a-2m）y-am=0．
整理得：（ax+ay）+m（-2y-a）=0，
∴MN恒过定点$（\frac{a}{2}，-\frac{a}{2}）$；
（2）解：当$|AM|=\frac{1}{3}|AB|$时，$M（\frac{a}{3}，0）$，
⊙Q：$（x-\frac{2}{3}a）^{2}+（y-\frac{a}{3}）^{2}=\frac{2}{9}{a}^{2}$，即：${x^2}+{y^2}-\frac{4}{3}ax-\frac{2}{3}ay+\frac{1}{3}{a^2}=0$．
设G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），K（x，y），GH所在直线斜率为k，
则：$|AG|=\sqrt{1+{k^2}}•{x_1}$，$|AH|=\sqrt{1+{k^2}}•{x_2}$，$|AK|=\sqrt{1+{k^2}}•x$，
由题意，$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{2}{x}$，即：$\frac{2}{x}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{{{x_1}{x_2}}}$．
把y=kx代入⊙Q方程，得：$（1+{k^2}）{x^2}-（\frac{4}{3}a+\frac{2}{3}ak）x+\frac{1}{3}{a^2}=0$，
由韦达定理得：${x_1}+{x_2}=\frac{{\frac{4}{3}a+\frac{2}{3}ak}}{{1+{k^2}}}$，${x_1}•{x_2}=\frac{{\frac{1}{3}{a^2}}}{{1+{k^2}}}$，
∴$\frac{2}{x}=\frac{\frac{\frac{4}{3}a+\frac{2}{3}ak}{1+{k}^{2}}}{\frac{\frac{1}{3}{a}^{2}}{1+{k}^{2}}}=\frac{\frac{4}{3}+\frac{2}{3}k}{\frac{1}{3}a}$，将$k=\frac{y}{x}$代入整理，得：2x+y-a=0．
∴点K的轨迹是直线2x+y-a=0被⊙Q所截的一条线段．

点评 本题考查轨迹方程的求法，考查了两圆的公共弦的求法，着重考查了学生的读图能力，考查运算能力，属有一定难度问题．