Question

8．在△ABC中，内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，已知b=asinC+ccosA
（1）求A+B的值；
（2）若c=$\sqrt{2}$，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由b=asinC+ccosA，由正弦定理可得：sinB=sinAsinC+sinCcosA，又sinB=sin（A+C）=sinCcosA+cosCsinA，可得tanC=1，C∈（0，π）．即可得出A+B．
（2）由余弦定理可得：c²=a²+b²-2abcosC，再利用基本不等式的性质、三角形面积计算公式即可得出．

解答 解：（1）在△ABC中，∵b=asinC+ccosA，由正弦定理可得：sinB=sinAsinC+sinCcosA，
又sinB=sin[π-（A+C）]=sin（A+C）=sinCcosA+cosCsinA=sinAsinC+sinCcosA，
∴cosCsinA=sinAsinC，
∵A∈（0，π），∴sinA≠0，
∴cosC=sinC，可得tanC=1，C∈（0，π）．
∴C=$\frac{π}{4}$，
∴A+B=$\frac{3π}{4}$．
（2）由余弦定理可得：c²=a²+b²-2abcosC，∴2=a²+b²-$\sqrt{2}$ab，
∴2+$\sqrt{2}$ab=a²+b²≥2ab，解得ab≤$\frac{2}{2-\sqrt{2}}$=2+$\sqrt{2}$．当且仅当a=b=$\sqrt{2+\sqrt{2}}$时取等号．
S_△ABC=$\frac{1}{2}absinC$≤$\frac{1}{2}×（2+\sqrt{2}）×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式、基本不等式的性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．