Question

3．己知球O的球心到过球面上三点A、B、C的截面的距离等于球半径的一半，且AB=3，tan∠ACB=-$\sqrt{3}$，则球O的体积为$\frac{32}{3}π$．

Answer 1

分析 根据已知求出△ABC的外接圆半径r，利用勾股定理，求出球的半径，进而可得答案．

解答 解：∵tan∠ACB=-$\sqrt{3}$，
∴cos∠ACB=$-\frac{1}{\sqrt{1+{tan}^{2}∠ACB}}$=-$\frac{1}{2}$，
∴sin∠ACB=tan∠ACB•cos∠ACB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又由AB=3，故△ABC的外接圆半径r=$\frac{AB}{2sin∠ACB}$=$\sqrt{3}$，
高球的半径为R，则${R}^{2}=（\frac{R}{2}）^{2}+{r}^{2}$，解得：R=2，
故球O的体积为：$\frac{4}{3}{πR}^{3}$=$\frac{32}{3}π$，
故答案为：$\frac{32}{3}π$．

点评 本题考查球体积，考查学生的计算能力，确定球的半径是关键．