Question

10．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且bcosC=（2a-c）cosB．
（1）求角B的大小；
（2）已知b=$\sqrt{3}$，BD为AC边上的高，求BD的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由bcosC=（2a-c）cosB得a²+c²-b²=ac，∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}=\frac{1}{2}$，即B=$\frac{π}{3}$．
（2）设BD为AC边上的高为h由s=$\frac{1}{2}acsinB=\frac{1}{2}bh$，得h=$\frac{\sqrt{3}ac}{2b}$=ac，由余弦定理得b²=a²+c²-2accosB3≥2ac-ac，即ac≤3，即h=$\frac{\sqrt{3}ac}{2b}$=ac≤3，从而可得BD的取值范围

解答 解：（1）由bcosC=（2a-c）cosB得b•$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=（2a-c）$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$，
化简得a²+c²-b²=ac，∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}=\frac{1}{2}$，
∵B∈（0，π），∴B=$\frac{π}{3}$．
（2）设BD为AC边上的高为h，
∵s=$\frac{1}{2}acsinB=\frac{1}{2}bh$，∴h=$\frac{\sqrt{3}ac}{2b}$=ac，
由余弦定理得b²=a²+c²-2accosB⇒a²+c²-ac=3⇒3≥2ac-ac，
∴ac≤3，∴h=$\frac{\sqrt{3}ac}{2b}$=ac≤3．
故BD的取值范围为（0，3]

点评 本题考查了正余弦定理的应用，转化思想，属于中档题．