Question

16．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足$\frac{2b-c}{a}$=$\frac{cosC}{cosA}$．
（1）求角A的大小；
（2）若a=$\sqrt{13}$，△ABC的面积S_△ABC=3$\sqrt{3}$，求b+c的值，；
（3）若函数f（x）=2sinxcos（x+$\frac{π}{6}$），求f（B）的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理推导出bc=b²+c²-a²，从而求出cosA=$\frac{1}{2}$，进而能求出A．
（2）由S_△ABC=$\frac{1}{2}bc×sin\frac{π}{3}$=3$\sqrt{3}$，得bc=12，由余弦定理求出b²+c²=25，从而求出（b+c）²，进而求出b+c的值．
（3）由f（x）=2sinxcos（x+$\frac{π}{6}$）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）-$\frac{1}{2}$，A=$\frac{π}{3}$，得2B+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$），由此能求出f（B）=sin（2B+$\frac{π}{3}$）-$\frac{1}{2}$的取值范围．

解答 解：（1）锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足$\frac{2b-c}{a}$=$\frac{cosC}{cosA}$，
∴$\frac{2b-c}{a}$=$\frac{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}}{\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}}$，
整理，得bc=b²+c²-a²，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{bc}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
∴A=$\frac{π}{3}$．
（2）∵a=$\sqrt{13}$，△ABC的面积S_△ABC=3$\sqrt{3}$，A=$\frac{π}{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}bc×sin\frac{π}{3}$=3$\sqrt{3}$，解得bc=12，
cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-13}{2×12}$=$\frac{1}{2}$，解得b²+c²=25，
∴（b+c）²=b²+c²+2bc=25+24=49，
∴b+c=7．
（3）∵f（x）=2sinxcos（x+$\frac{π}{6}$）
=2sinx（cosxcos$\frac{π}{6}$-sinxsin$\frac{π}{6}$）
=$\sqrt{3}$sinxcosx-sin²x
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1-cos2x}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{1}{2}$
=cos$\frac{π}{3}$sin2x+sin$\frac{π}{3}$cos2x-$\frac{1}{2}$
=sin（2x+$\frac{π}{3}$）-$\frac{1}{2}$，
∵A=$\frac{π}{3}$，∴锐角△ABC中，B∈（0，$\frac{π}{2}$），∴2B+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$），
f（B）=sin（2B+$\frac{π}{3}$）-$\frac{1}{2}$，
当2B+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$时，f（B）_max=1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，
当2B+$\frac{π}{3}$=$\frac{4π}{3}$时，f（B）_min=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{1}{2}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{1}{2}$．
∴f（B）的取值范围是（-$\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）．

点评 本题考查三角形中角的求法，两角和的取值范围及三角函数的取值范围的求法，考查余弦定理、正弦定理、三角形面积、三角函数二倍角公式、余弦加法定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．