Question

17．已知函数f（x）=$\frac{x-2}{x+2}$e^x．
（Ⅰ）确定函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）证明：函数g（x）=$\frac{2{e}^{x}-x-1}{2{x}^{2}}$在（0，+∞）上存在最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）求出函数g（x）的导数，得到g（x）在（0，x₀）上递减，在（x₀，+∞）上递增，x₀∈（0，2），求出函数的最小值，从而证明结论即可．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（-∞，-2）∪（-2，+∞），---------------------------------------（1分）
$f'（x）=\frac{{[{e^x}+（x-2）{e^x}]（x+2）-（x-2）{e^x}}}{{{{（x+2）}^2}}}=\frac{{{x^2}{e^x}}}{{{{（x+2）}^2}}}$≥0，---------------------------------------（4分）
∴函数f（x）在（-∞，-2）和（-2，+∞）上单调递增；------------------------------------------------------（5分）
（Ⅱ）$g'（x）=\frac{{2（2{e^x}-1）{x^2}-4x（2{e^x}-x-1）}}{{4{x^4}}}=\frac{{2（x-2）{e^x}+x+2}}{{2{x^3}}}=\frac{{[\frac{{（x-2）{e^x}}}{x+2}+\frac{1}{2}]（x+2）}}{x^3}$=$\frac{（x+2）}{x^3}[f（x）+\frac{1}{2}]$，---------------（8分）
由（Ⅰ）知f（x）在（0，+∞）单调递增；
∴$f（x）+\frac{1}{2}$在（0，+∞）上也单调递增；
∵$f（0）+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}＜0$，$f（2）+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}＞0$，----------------------------------------------------------（10分）
∴存在x₀∈（0，2），有$f（{x_0}）+\frac{1}{2}=0$，
当x∈（0，x₀）时，$f（x）+\frac{1}{2}$＜0，得g'（x）＜0，
当x∈（x₀，+∞）时，$f（x）+\frac{1}{2}$＞0，得g'（x）＞0，---------------------------------------------------（11分）
∴g（x）在（0，x₀）上递减，在（x₀，+∞）上递增，
故函数g（x）在（0，+∞）上存在最小值，g（x）_min=g（x₀）．--------------------------------------------（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．