Question

容器A内装有6升质量分数为20%的盐水溶液，容器B内装有4升质量分数为5%的盐水溶液，先将A内的盐水倒1升进入B内，再将B内的盐水倒1升进入A内，称为一次操作；这样反复操作n次，A、B容器内的盐水的质量分数分别为a_n，b_n，
（1）求a₁、b₁，并证明{a_n-b_n}是等比数列；
（2）至少操作多少次，A、B两容器内的盐水浓度之差小于1%？（取lg2=0.3010，lg3=0.4771）；
（3）求a_n、b_n的表达式．

Answer 1

考点：数列的应用

专题：应用题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）先根据条件求出b₁=

1

5

(

1

5

+4×

1

20

)=

2

25

，a₁=

1

6

(

2

25

+5×

1

5

)=

9

50

；b_n+1=

an+4bn

5

，a_n+1=

1

6

（5a_n+b_n+1）=

26an+4bn

30

，即可证明{a_n-b_n}是等比数列；
（2）由（1）知a_n-b_n=

1

10

×(

2

3

)n-1，再结合盐水浓度之差小于1%，借助于对数的性质解不等式即可求出答案．
（3）先根据b_n+1=

1

5

[b_n+

1

10

×(

2

3

)n-1+4b_n]，可得b_n+1-b_n=

3

100

×(

2

3

)n，利用叠加法，即可求出b_n的通项以及a_n的表达式．

解答： 解：（1）由题意，b₁=

1

5

(

1

5

+4×

1

20

)=

2

25

，a₁=

1

6

(

2

25

+5×

1

5

)=

9

50

；
∵b_n+1=

an+4bn

5

，a_n+1=

1

6

（5a_n+b_n+1）=

26an+4bn

30

，
∴a_n+1-b_n+1=

2

3

（a_n-b_n）
∴{a_n-b_n}是等比数列；
（2）由（1）知a_n-b_n=

1

10

×(

2

3

)n-1，
∴

1

10

×(

2

3

)n-1＜1%，
∴n-1＞

1

lg3-lg2

≈5.7
∴n≥7，故至少操作7次；
（3）∵b_n+1=

1

5

[b_n+

1

10

×(

2

3

)n-1+4b_n]，
∴b_n+1-b_n=

3

100

×(

2

3

)n
∴b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）=

2

25

+

3

100

×[

2

3

+…+(

2

3

)n-1]=-

3

100

×(

2

3

)n+

7

50

，
∴a_n=b_n+

1

10

×(

2

3

)n-1=

3

50

×(

2

3

)n+

7

50

．

点评：本题考查数列的性质和应用，根据题意找到两种容器内的盐水浓度的差b_n-a_n的规律是关键．