Question

设A∪B∪C={1，2，3，4，5，6}，且A∩B={1，2}，{1，2，3，4}⊆B∪C，则符合条件的（A，B，C）共有

 

组．（注：A，B，C顺序不同视为不同组）

Answer 1

考点：集合的包含关系判断及应用

专题：集合

分析：由A∩B={1，2}，可知集合A，B必含元素1，2，且无其它公共元素，又由{1，2，3，4}⊆B∪C，可知3，4两个元素对于A和B两个集合的关系是相同的，5，6两个元素对于A和B两个集合的关系也是相同的，分类讨论满足条件的集合个数，最后综合讨论结果，可得答案．

解答： 解：∵A∩B={1，2}，
∴集合A，B必含元素1，2，且无其它公共元素
（1）当A={1，2}时，
若3∉B，4∉B，B共有4种不同情况，那么3∈C，4∈C，C共有2⁴=16种情况，共4×16=64种不同情况；
若3∉B，4∈B，B共有4种不同情况，那么3∈C，C共有2⁵=32种情况，共4×32=128种不同情况；
若3∈B，4∉B，B共有4种不同情况，那么4∈C，C共有2⁵=32种情况，共4×32=128种不同情况；
若3∈B，4∈B，B共有4种不同情况，那么3∉C，4∉C，C共有2⁴=16种情况，共4×16=64种不同情况；
综上，共有64+128+128+64=384种不同情况；
（2）当A={1，2，3}时，则3∉B，
若4∉B，B共有4种不同情况，那么3∈C，4∈C，C共有2⁴=16种情况，共4×16=64种不同情况；
若4∈B，B共有4种不同情况，那么3∈C，4∉C，C共有2⁴=16种情况，共4×16=64种不同情况；
综上，共有64+64=128种不同情况；
（3）当A={1，2，4}时，由（2）可知共有128种不同情况；
（4）当A={1，2，5}时，则5∉B，
若3∉B，4∉B，B共有2种不同情况，那么3∈C，4∈C，C共有2⁴=16种情况，共2×16=32种不同情况；
若3∉B，4∈B，B共有2种不同情况，那么3∈C，C共有2⁵=32种情况，共2×32=64种不同情况；
若3∈B，4∉B，B共有2种不同情况，那么4∈C，C共有2⁵=32种情况，共2×32=64种不同情况；
若3∈B，4∈B，B共有2种不同情况，那么3∉C，4∉C，C共有2⁴=16种情况，共2×16=32种不同情况；
综上，共有32+64+64+32=192种不同情况；
（5）当A={1，2，6}时，由（4）可知共有192种不同情况；
（6）当A={1，2，3，4}时，则3∉B，4∉B，
B共有4种不同情况，那么3∈C，4∈C，C共有2⁴=16种情况，共4×16=64种不同情况；
（7）当A={1，2，3，5}时，则3∉B，5∉B，
若4∉B，B共有2种不同情况，那么3∈C，4∈C，C共有2⁴=16种情况，共2×16=32种不同情况；
若4∈B，B共有2种不同情况，那么3∈C，4∉C，C共有2⁴=16种情况，共2×16=32种不同情况；
综上，共有32+32=64种不同情况；
（8）当A={1，2，3，6}时，由（7）可知共有64种不同情况；
（9）当A={1，2，4，5}时，由（7）可知共有64种不同情况；
（10）当A={1，2，4，6}时，由（7）可知共有64种不同情况；
（11）当A={1，2，5，6}时，则5∉B，6∉B，
若3∉B，4∉B，B共有1种不同情况，那么3∈C，4∈C，C共有2⁴=16种情况，共1×16=16种不同情况；
若3∉B，4∈B，B共有1种不同情况，那么3∈C，C共有2⁵=32种情况，共1×32=32种不同情况；
若3∈B，4∉B，B共有1种不同情况，那么4∈C，C共有2⁵=32种情况，共1×32=32种不同情况；
若3∈B，4∈B，B共有1种不同情况，那么3∉C，4∉C，C共有2⁴=16种情况，共1×16=16种不同情况；
综上，共有16+32+32+16=96种不同情况；
（12）当A={1，2，3，4，5}时，则3∉B，4∉B，5∉B
B共有2种不同情况，那么3∈C，4∈C，C共有2⁴=16种情况，共2×16=32种不同情况；
（13）当A={1，2，3，4，6}时，由（11）可知共有32种不同情况；
（14）当A={1，2，3，5，6}时，则3∉B，5∉B，6∉B
若4∉B，B共有1种不同情况，那么3∈C，4∈C，C共有2⁴=16种情况，共16种不同情况；
若4∈B，B共有1种不同情况，那么3∈C，4∉C，C共有2⁴=16种情况，共16种不同情况；
综上，共有16+16=32种不同情况；
（15）当A={1，2，4，5，6}时，由（13）可知共有32种不同情况；
（16）当A={1，2，3，4，5，6}时，则B={1，2}，
那么3∈C，4∈C，C共有2⁴=16种情况，共16种不同情况；
综上，符合条件的（A，B，C）共有384+128+128+192+192+64+64+64+64+64+96+32+32+32+32+16=1584种情况．

点评：本题考查的知识点是满足条件的集合个数，当集合中不确定元素为n个时，满足条件的集合共有2ⁿ个．