Question

如图，四棱锥P－ABCD中，PA平面ABCD，AD∥BC，ABAD，BC＝，AB＝1，BD＝PA＝2．

（1）求异面直线BD与PC所成角的余弦值；

（2）求二面角A－PD－C的余弦值．

 

Answer 1

解：（1）因为PA平面ABCD，AB平面ABCD，AD平面ABCD，

所以PAAB，PAAD．

又ADAB，

故分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．

根据条件得AD＝．

所以B(1，0，0)，D(0，，0)，C(1，，0)，P(0，0，2)．

从而＝(－1，，0)，＝(1，，－2)．

设异面直线BD，PC所成角为 ，

  

即异面直线BD与PC所成角的余弦值为．        

（2）因为AB平面PAD，所以平面PAD的一个法向量为 ＝(1，0，0)．

设平面PCD的一个法向量为n＝(x，y，z)，

由n，n ，＝(1，，－2)，＝(0，，－2)，

不妨取z＝3，则得n＝(2，2，3)．             

设二面角A－PD－C的大小为，

则cos＝cos＜，n＞＝ 

即二面角A－PD－C的余弦值为．